modüler aritmetik ne demek?

Modüler aritmetik, sayıların belirli bir sayıya göre "kalanlarını" inceleyen bir aritmetik sistemidir. Bu sistemde, sayılar belirli bir modüle göre denktir.

Temel Kavramlar:

• Modül: Modüler aritmetiğin temelini oluşturan pozitif bir tam sayıdır (genellikle n ile gösterilir). İşlemler bu modül üzerinden yapılır.
• Denklik: İki tam sayı, belirli bir modüle göre aynı kalanı veriyorsa denktir denir. a ≡ b (mod n) şeklinde gösterilir. Yani a ve b'nin n ile bölümünden kalan aynıdır.
• Kalan Sınıfı: Belirli bir modüle göre denk olan tüm sayıların oluşturduğu kümedir.

İşlemler:

Modüler aritmetikte toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri, normal aritmetikteki gibi yapılır, ancak sonuçlar modüle göre indirgenir (yani kalanı alınır).

• (Toplama): (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
• (Çıkarma): (a - b) mod n = ((a mod n) - (b mod n)) mod n
• (Çarpma): (a * b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n

Önemli Konular:

• Modüler Denklik Özellikleri: https://www.nedemek.page/kavramlar/modüler%20denklik%20özellikleri Denklik ilişkisinin özellikleri, denklik sınıflarıyla çalışmayı kolaylaştırır.
• Modüler Ters: https://www.nedemek.page/kavramlar/modüler%20ters Bir sayının modüler tersi, o sayıyla çarpıldığında modülüne göre 1'e denk olan sayıdır. Bölme işleminin modüler aritmetikteki karşılığıdır (ancak bölme işlemi doğrudan yapılamaz).
• Çin Kalan Teoremi: https://www.nedemek.page/kavramlar/çin%20kalan%20teoremi Birkaç modüler denklik sisteminin çözümünü bulmaya yarayan bir teoremdir.
• Fermat'ın Küçük Teoremi: https://www.nedemek.page/kavramlar/fermat'ın%20küçük%20teoremi Asal sayılarla ilgili önemli bir teoremdir ve modüler üs alma işlemlerini basitleştirmede kullanılır.
• Euler Teoremi: https://www.nedemek.page/kavramlar/euler%20teoremi Fermat'ın küçük teoreminin genelleştirilmiş halidir.
• Modüler Üs Alma: https://www.nedemek.page/kavramlar/modüler%20üs%20alma Bir sayının belirli bir üssünün modüler aritmetikteki değerini hesaplama işlemidir.
• Kriptografi: https://www.nedemek.page/kavramlar/kriptografi Modüler aritmetik, modern kriptografide yaygın olarak kullanılır (örneğin, RSA algoritması).

Kullanım Alanları:

• Bilgisayar Bilimi
• Kriptografi
• Matematik
• Mühendislik